¿Cómo calculaban los romanos?

En el artículo anterior sosteníamos que los números romanos no permitían sumar, restar, multiplicar o dividir de forma fácil. Una amiga, siempre atenta a lo que escribo, me hizo la siguiente observación: es verdad que sumar LXVII y XXXVIII es difícil; pero de algún modo lo harían, ya que los romanos eran excelentes administradores e ingenieros. Mi amiga señala un asunto muy interesante que voy a tratar de explicar, cómo calculaban los romanos con un sistema de numeración no posicional.

El sistema de numeración romano era heredado del de los etruscos y en su forma primitiva tenemos una pista importante de cómo contaban y, por tanto, de cómo sumaban o restaban.

El sistema que utilizamos intuitivamente para conocer la cantidad de un gran número de cosas iguales es contar de cinco en cinco: pintamos palotes hasta cuatro y con el quinto tachamos el grupo de cuatro. Luego empezamos de nuevo, volvemos a pintar palotes hasta 4 y al llegar al quinto tachamos el segundo grupo de cuatro, ahora ya tenemos 10 unidades y así hasta que contemos todos los elementos.

El sistema romano primitivo sigue exactamente ese sistema. Sus primeros números eran: I, II, III y IIII (la forma IV es más moderna), y sustituimos el grupo de cuatro palotes tachados por un signo especial, la V. Seguimos añadiendo palotes al V hasta llegar al VIIII (la forma IX también es más moderna), y sustituimos los dos grupos de 5 palotes por un nuevo signo, la X (que solo por pura casualidad son dos uves unidas por el vértice). Ver figura 1.

Figura 1. La numeración primitiva romana deriva del conteo con los dedos de una mano y de la cantidad de manos completadas. Gráfico del autor.

A partir de aquí seguimos el mismo proceder XI… XIIII, XV, XVI… XX, XXI… y así hasta tener 5 dieces, que sustituimos por un símbolo, la L (50). El sistema completo usaba las siguientes letras: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1.000); además, una rayita sobre cualquier letra multiplicaba por 1.000 su valor, y dos rayitas, multiplicaban por un millón.

Todo esto nos indica que el sistema romano está basado simultáneamente en el 5 (una mano) y el 10 (dos manos); por tanto, no es un sistema decimal puro.

El sistema romano primitivo es un sistema “aditivo”, cada letra tiene un valor y el número final es la suma de los valores de todas ellas, así, por ejemplo, XXVIII es igual a 10+10+5+1+1+1 = 28.

Desde épocas prehistóricas la forma clásica de hacer cálculos era escribir en la arena. Una vez finalizado el cálculo, se anotaba el resultado y se borraba la cuenta, tal y como hacemos hoy al operar con una calculadora. Hacer cálculos en el suelo se llamaba en latín abbaco (probablemente del hebreo abac, polvo, pasando por el griego) de donde se deriva el nombre de los instrumentos manuales para calcular.

El siguiente paso fueron las llamadas mesas de polvo. Se trataba de una mesa con unas molduras para que no se desbordara una arena muy fina, y que evitaban al calculista el esfuerzo de agacharse; aunque el proceso aritmético siguiera siendo el mismo. Este fue el instrumento preferido por los calculistas y científicos árabes.

Andando el tiempo se construyeron unos tableros de madera con columnas separadas por tablillas. Estas columnas estaban marcadas de derecha a izquierda con la unidad, la decena y la centena; después venían otras tres columnas para los millares, las decenas de millar y las centenas de millar. Cada grupo de tres columnas estaba marcado por un arco sobre ellas, de donde venía su nombre de ábaco de arco. En las columnas se situaban unas piedrecitas o calculi que inicialmente tendrían solo los valores de I y V.

Si queremos sumar LXVII (67) y XXXVIII (38), tomamos de un cuenco o de una bolsa uno de esos calculi de V y dos de I y los situamos en la primera columna (representando el 7), y uno de V y otro de I en la segunda (60). Seguidamente, debajo, ponemos un calculo de V y tres de I en la primera columna (8) y tres de I en la segunda (30), (ver figura 2, imagen superior).

Empezamos a sumar por la columna de la derecha, hay dos calculi de V, por lo que los devolvemos al cuenco y ponemos uno de I en la segunda columna. Como nos quedan cinco de I, los sustituimos por uno de V. Ahora vamos a la segunda columna, tenemos un calculo de V y cinco de I, lo que suma 10 (ver figura 2, imagen central), por lo que los retiramos todos y ponemos uno de I en la siguiente columna, la de las centenas.

Leemos el resultado, un calculo de C y uno de V (ver figura 2, imagen inferior), es decir, CV (105), lo escribimos en el papiro y devolvemos todos los calculi a sus cuencos.

Figura 2. Suma de dos números. Gráfico del autor.

Para hacer una resta se procede de modo parecido. Ponemos el número mayor arriba y el menor abajo, vamos restando columna a columna, comenzando por la de las unidades y siempre que en una columna el número superior (minuendo) sea menor que el inferior (sustraendo), descomponemos una unidad de la columna inmediatamente superior en 10 unidades de la inferior.

Para multiplicar ya existían (desde las tablillas sumerias, nada menos) las tablas de multiplicar, que se iban aplicando columna a columna por cada uno de los números del multiplicador o sumando las veces necesarias el mismo número.

Los ábacos de arco ya fueron utilizados por los últimos romanos y permanecieron en el occidente cristiano hasta la generalización de los números indo-árabes.

Para simplificar la operación se inventaron unos calculi con símbolos que representaban los números del 1 al 9. Estos guijarros se llamaban ápices, aún hoy se desconoce cuáles era los símbolos que tenían grabados y que recibieron el nombre de ápices de Boecio.

Hay que hacer notar que los calculi no tenían ningún carácter posicional, como tienen los números indo-árabes, y que una columna vacía no era un cero posicional; por ejemplo, en CV (105) no hay un hueco o un símbolo entre la C y la V. La verdad es que observando el ábaco de arco cuesta creer que se quedaran a un paso de ambos conceptos.

Las palabras son seres vivientes que a veces no mueren, sino que se reencarnan en otras vidas. Los marcos de madera con cuentas que hoy llamamos ábacos son de origen oriental y, sin embargo, han heredado el nombre de los procedimientos mediterráneos de cálculo en la arena, y las piedrecitas del ábaco de arco, los calculi, se han reencarnado en el concepto moderno del cálculo.

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